Нерешаемые задачи: уравнения Навье-Стокса, гипотеза Ходжа, гипотеза Римана. Задачи тысячелетия

НИКОМУ не дано владеть вселенским разумом и знать ВСЁ. Тем не менее, у большинства ученых, да и тех, кто просто любит размышлять и исследовать, всегда есть стремление узнать больше, разгадать загадки. Но остались ли еще неразгаданные темы у человечества? Ведь, кажется, все уже ясно и нужно только применять полученные веками знания?

НЕ стоит отчаиваться! Еще остались нерешенные проблемы из области математики, логики, которые в 2000 году эксперты Математического института Клэя в Кембридже (Массачусетс, США) объединили в список, так называемые, 7 загадок тысячелетия (Millennium Prize Problems). Эти проблемы волнуют ученых всей планеты. С тех пор и по сей день любой человек может заявить, что нашел решение одной из задач, доказать гипотезу и получить от бостонского миллиардера Лэндона Клэя (в честь которого и назван институт) премию. Он уже выделил на эти цели 7 миллионов долларов. К слову сказать, на сегодняшний день одна из проблем уже решена.

Итак, вы готовы узнать о математических загадках?

Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)

Уравнения о турбулентных, воздушных потоках, а также течении жидкостей известны как уравнения Навье - Стокса. Если, к примеру, плыть по озеру на чем-либо, то неизбежно вокруг возникнут волны. Это касается и воздушного пространства: при полете на самолете в воздухе также будут образовываться турбулентные потоки.
Данные уравнения как раз производят описание процессов движения вязкой жидкости и являются стержневой задачей всей гидродинамики. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых части уравнений отбрасываются, как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений не найдены.
Необходимо найти решение уравнениям и выявить гладкие функции.

Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Известно, что распределение простых чисел (Которые делятся только на себя и на единицу: 2,3,5,7,11…) среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности.
Над этой проблемой задумался немецкий математик Риман, который сделал свое предположение, теоретически касающееся свойств имеющейся последовательности простых чисел. Уже давно известны так называемые парные простые числа - простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например, 101, 103, 107, 109 и 113.
Если такие скопления будут найдены и выведен определенный алгоритм, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году. Решена в 2002 году.)

Суть проблемы заключается в топологии и состоит в том, что если натягивать резиновую ленту, к примеру, на яблоко (сферу), то будет теоретически возможным сжать ее до точки, медленно перемещая без отрыва от поверхности ленту. Однако если эту же ленту натянуть вокруг бублика (тора), то сжать ленту без разрыва ленты или разлома самого бублика не представляется возможным. Т.е. вся поверхность сферы односвязна, в то время как тора – нет . Задача состояла в том, чтобы доказать, что односвязной является только сфера.

Представитель ленинградской геометрической школы Григорий Яковлевич Перельман является лауреатом премии тысячелетия математического института Клэя (2010 г.) за решение проблемы Пуанкаре. От знаменитой Фильдсовской премии он отказался.

Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В реальности существуют множество как простых, так и куда более сложных геометрических объектов. Чем сложнее объект, тем труднее его изучать. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основанный на использовании частей одного целого ("кирпичики") для изучения этого объекта, как пример - конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта. Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков», так и объектов.
Это очень серьезная проблема алгебраической геометрии: найти точные пути и методы анализа сложных объектов с помощью простых "кирпичиков".

Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)

Физики Янг и Миллс описывают мир элементарных частиц. Они, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения в области квантовой физики. Тем самым был найден путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
На уровне микрочастиц возникает «неприятный» эффект: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Это происходит по причине того, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля.
Хотя и уравнения Янга - Миллса приняты всеми физиками мира, экспериментально теория, касающаяся предсказывания массы элементарных частиц, не доказана.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений . В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Задача в том, что нужно описать ВСЕ решения в целых числах x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами.

Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Ее еще называют "Равенство классов P и NP", и она является одной из наиболее важных задач теории алгоритмов, логики и информатики.
Может ли процесс проверки правильности решения какой-либо задачи длиться дольше, чем время, затраченное на само решение этой задачи (независимо от алгоритма проверки)?
На решение одной и той же задачи, порой, нужно разное количество времени, если изменить условия и алгоритмы. К примеру: в большой компании вы ищете знакомого. Если вы знаете, что он сидит в углу или за столиком - то вам понадобится доли секунд, чтобы его увидеть. Но если вы не будете знать точно, где находится объект, то затратите больше времени на его поиски, обходя всех гостей.
Основным вопросом является: все или не все задачи, которые можно легко и быстро проверить, можно также легко и быстро решить?

Математика, как может показаться многим, не так далека от реальности. Она является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир и многие явления. Математика всюду. И прав был В.О. Ключевский, который изрек: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит» .

И в заключение….

В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слы-шавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоми-наний — невозможность доказать теорему.

Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и про-фессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед-ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя-щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова-нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...

Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма - задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство - даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?

Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста - на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.

То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²

Начиная с 3, 4, 5 - действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота - кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац - а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):


А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) - не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:

А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве-ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа-тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.

Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:

Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау

В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.

В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.

В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы - геометрические объекты, а эллиптические уравнения - алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.

Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник - модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы-Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы-Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы-Симуры.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.

Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.

Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен-ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи-ческой точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер-ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио-нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до-казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...

источник

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИКИ, НЕ РЕШЕННЫЕ ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ

Задачи Гильберта

23 важнейших проблем математики были представлены величайшим немецким математиком Давидом Гильбертом на Втором Международном конгресе математиков в Париже в 1990 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, вариационное исчисление и теорию вероятностей, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев

Задачи Ландау

До сих пор существует много открытых вопросов, связанных с простыми числами (простое число - это число, которое имеет отлько два делителя: единицу и само это число). Наиболее важные вопросы были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Междунанародном математическом конгресе:

Первая проблема Ландау (проблема Гольдбаха): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?

Вторая проблема Ландау : бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
Третья проблема Ландау (гипотеза Лежандра): верно ли, что для всякого натурального числа n между и всегда найдётся простое число?
Четвёртая проблема Ландау : бесконечно ли множество простых чисел вида , где n — натуральное число?

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems)

Это семь математических задач, з а решение каждой из которых инcтитут Клея предложил приз в 1 000 000 долларов США. Вынося на суд математиков эти семь задач, иститут Клея сравнил их с 23 задачами Д.Гильберта, которые оказали большое влияние на на математику ХХ века. Из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия. По состоянию на декабрь 2012 года только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена. Приз за её решение присуждён российскому математику Григорию Перельману, который от него отказался.

Вот список этих семи задач :

№1. Равенство классов P и NP

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классуц NP, второго — классу Р. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

№2. Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы комогологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

№3. Гипотеза Пуанкаре (доказана Г.Я.Перельманом)

Cчитается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий 3D «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г.Я.Перельману, опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.

№4. Гипотеза Римана

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта.

№5. Теория Янга — Миллса

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для четырехмарного пространства существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

№6. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

№7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

Иногда усердное изучение точных наук может принести свои плоды - вы станете не только известны на весь мир, но и богаты. Награды даются, впрочем, не за что попало, и в современной науке очень много недоказанных теорий, теорем и задач, которые плодятся по мере развития наук, взять хотя бы Коуровские или Днестровские тетради, этакие сборники с неразрешимыми физико-математическими, и не только, задачами. Однако есть и поистине сложные теоремы, которые не могут разгадать уже не один десяток лет, и вот за них то и выставлена награда американским институтом Клэя в размере 1 млн. долларов США за каждую. До 2002 года общий джекпот равнялся 7 миллионам, так как «задач тысячелетия» было семь, однако российский математик Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре, эпически отказавшись от миллиона, даже не открыв дверь математикам США, которые хотели вручить ему его честно заработанные премиальные. Итак, включаем Теорию Большого Взрыва для фона и настроения, и смотрим, за что еще можно срубить круглую сумму.

Равенство классов P и NP

Простыми словами говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно довольно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти (также за полиномиальное время и используя полиномиальную память)? Другими словами, действительно ли решение задачи проверить не легче, чем его отыскать? Суть здесь в том, что некоторые расчеты и вычисления легче решать по алгоритму, а не вычислять перебором, и таким образом экономить кучу времени и ресурсов.

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.

Здесь объясняя простыми словами можно сказать следующее: в 20 веке были открыты очень сложные геометрические формы, типа искривленных бутылок. Так вот, было высказано предположение, что чтобы сконструировать эти объекты для описания, надо применять совсем головоломные формы, которые не имеют геометрической сути «этакие страшные многомерные каляки-маляки» или же все - таки можно обойтись условно-стандартной алгеброй+геометрией.

Гипотеза Римана

Здесь человеческим языком объяснить довольно сложно, достаточно знать, что решение данной проблемы будет иметь далеко идущие последствия в области распределения простых чисел. Проблема настолько важна и насущна, что даже выведение контрпримера гипотезы - на усмотрение ученого совета университета, проблему можно будет считать доказанной, так что здесь можно попробовать и метод «от обратного». Даже если удастся переформулировать гипотезу в более узком смысле - и тут институт Клэя выплатит некоторую сумму денег.

Теория Янга — Миллса

Физика элементарных частиц - один из любимых разделов доктора Шелдона Купера. Тут квантовая теория двух умных дядек говорит нам о том, что для любой простой калибровочной группе в пространстве существует дефект массы отличный от нулевого. Это утверждение установлено экспериментальными данными и численному моделированию, однако доказать его пока никто не может.

Уравнения Навье-Стокса

Здесь нам наверняка бы помог Говард Воловиц, если бы существовал в реальности - ведь это загадка из гидродинамики, причем основа основ. Уравнения описывают движения вязкой ньютоновской жидкости, имеют огромное практическое значение, а главное описывают турбулентность, которую никак не удается загнать в рамки науки и предугадать ее свойства и действия. Обоснование построения этих уравнений позволило бы не тыкать пальцем в небо, а понять турбулентность изнутри и сделать самолеты и механизмы более устойчивыми.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Здесь я, правда, пытался подобрать простые слова, однако тут такая дремучая алгебра, что без глубокого погружения не обойтись. Тем же, кто не хочет нырять с аквалангом в матан, надо знать, что данная гипотеза позволяет быстро и безболезненно находить ранг эллиптических кривых, а если бы этой гипотезы не было, то для вычисления этого ранга нужна была бы простыня вычислений. Ну и естественно также надо знать, что доказательство этой гипотезы обогатит вас на миллион долларов.

Нельзя не отметить, что почти в каждой области есть уже продвижения, и даже доказаны случаи для отдельных примеров. Поэтому не стоит медлить, а то получится как с теоремой Ферма, которая поддалась Эндрю Уайлсу через 3 с лишним века в 1994 году, и принесла ему Абелевскую премию и около 6 млн. норвежских крон (50 миллионов рублей по сегодняшнему курсу).